Matris

Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı...

 

verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır. Tanım Matris (dizey) sayma sayılarını dikdörtgen halinde dizip gösteren bir matematik tablodur. Örneğin: 12 & 83 & 16 \\ 21 & 22 & 17 \\ 14 & 9 & 20 \\ Bir diğer notasyona göre dikdörtgen parantezler yerine eğri şekilli parantez kullanılır: Bir matrisdeki düz yatay sıraya satır dikey sıraya sütun adı verilir. Bir matris içinde dizilip gösterilen sayal sayılar öğe veya eleman olarak adlandırılır. Matrisin büyüklüğü satır sayısı ile sutun sayısı birlikte verilmesi ile ifade edilir. Örnek olan verilen matrisler 4x3 (yani 4 satırlı 3 sütunlu) matrislerdir. Matrisin boyutu satır sayısı ve sütun sayısının ayrı ayrı verilmesi ile ifade edilir. Örnek matrislerin boyutu 4 ve 3 olur.

Genel matematiksel notasyon olarak bir matris bir büyük harf ile ifade edilir. Bazan matrislerin daha açık olarak ifadesi notasyonda kullanılan büyük harf vurgulanması ile yapılır. Bu vurgu kompüter ile yazılırsa tipografik kalın harf vurgusu ile; elle yazısı ile matris harfinin altına bir (bazan iki) çizgi veya küçük dalgalı bir cizgi koymak suretiyle yapılır. Daha acik bir sekilde notasyon matrisin parantez icinde küçük harfle ifade edilen genel elemanı için i satır ve j sütun alt indisli ve parantez disinda matris buyuklugu verilerek ifade edilir. Örneğin m satırlı n sütunlu mxn türünden bir A matrisi Cebirsel işlemler Matematikte çarpma ile çarpım farklı kavramlardır.

Çarpma bir ikili işlemdir üstelik kapalıdır. Çarpım ise bir daha genel olarak bir göndermedir. Aynı şekilde toplama ile toplam karıştırılmamalıdır. Matris toplaması Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar. İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir. Örnek: Sayıyla (Skalerle) çarpma Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır. cij = kaij Matris çarpımı Matris çarpımı ancak özel bir halde mümkündür ve genelde herhangi iki matris için matris çarpımı işlemi yapılamaz.

Çarpımı istenen iki matris için ilk defa ön-çarpan matris ile art-çarpan matris belirlenmesi gerekir, çünkü matris çarpımı işlemi için matematiksel komutatiflik kuralı doğru değildir; yani genel olarak A ve B matrisi için AB ? BA AB matris çarpımı için A ön-çarpan ve B art-çarpan; BA matris çarpımı için B ön-çarpan ve A art-çarpan olur. İki matris çarpımı notasyonla belirtilmekle beraber ya AB ya BA ya da hem AB hem BA geçerli olmayabilir. Matris çarpımı için yapılacak ilk işlem iki matrisin şu kurala uyup uymadığını kontrol etmektir: Matris çarpımı ancak ön-çarpan sütun sayısı ile art-çarpan satır sayısı birbirine eşitlerse mümkündür. Yani (pxj) boyutlu A matrisi ile (kxl) boyutlu B matrisinin matris çarpımı AB ancak j=k ise mümkün olur; yoksa geçerli değildir.

Bir ek kurala göre de Eğer matris çarpımı geçerli ise, ortaya çıkartılacak çarpım matrisi ön-çarpan satır sayısı ve art-çarpan matris sütun sayısı boyutludur Yani eğer j=k ise, matris çarpımı sonucu AB' matrisi (pxl) boyutludur. Daha sayısal bir örnek olarak A matrisi (2x3) boyutlu ise ve B (3x4) boyutlu ise AB matris çarpımı 3=3 olduğu için geçerlidir ve matris çarpımı işlemi sonuç AB matrisi (2x4) boyutludur. Ama BA matris çarpımı işlemi geçerli değildir, çünkü 4?2. Dosya:Matrix multiplication diagram 2.svg A ve B matrislerinin matris çarpımı AB ifadesinin bir şema ile gösterimi. Matris çarpımının algoritması ilk öğenin i. satırı, ikinci öğenin j. sütunuyla bileşenleri karşılıklı olarak çarpılıp toplanır ve sonuç dizeyin bileşeni olarak yazılır.

Cebirsel ifade bir ya da birden fazla cebirsel terimin aynı ifade de yer almasına denir. Örneğin x sayısı gibi. Cebirsel ifadelerde en çok kullanılanlar: x,y,n dir. Cebirsel ifadelerle kurulmuş iki eşitliğe denklem denir. Mesela x+5=2x+2 çözüm bilenenler bir tarafa bilinmeyenler bir tarafa gönderilir. Öteki tarafa geçerken zıt işaret verilir yani: +5-2=2x-x sadeleştirirsek 3=x Çarpmayı, ilk öğenin her satırını bir yöney ve ikinci öğenin her sütununu bir yöney olarak düşünüp ilk öğeyi bir sütun yöney ve ikinci öğeyi bir satır yöney olarak yöney iç çarpımına indirgeyebiliriz. biçimini alır. Bu şekilde düşünmek kâğıt üzerinde dizeyleri çarparken işe yarayabilir ve zaman kazandırır.